LA LUNA: TRA FISICA E MITO
Momento angolare
Spesso in fisica per studiare il moto di un corpo o l'evoluzione di un sistema si ricorre alle leggi di conservazione. Si può utilizzare il fatto che una determinata grandezza si conserva (ovvero che essa rimane costante nel tempo) per ricavare informazioni sul corpo in esame, quali la velocità , lo spazio percorso, l'energia cinetica...
La conservazione della quantità di moto torna utile per studiare i fenomeni di urto o esplosione, in generale problemi che riguardano i moti traslatori.
Per studiare la dinamica delle rotazioni, risulta invece comodo introdurre una nuova grandezza fisica, detta momento angolare. La sua legge di conservazione ci permetterà di ricavare importanti proprietà del moto circolare e in generale di un moto rotatorio.
Definizione
Il momento angolare L di un corpo puntiforme rispetto a un punto fisso O è il prodotto vettoriale fra il suo vettore posizione r rispetto a O e la sua quantità di moto P.
L = r x P
(1)
Per definizione di prodotto vettoriale, il momento angolare è ortogonale al piano individuato dai due vettori r e p. Il verso è determinato dalla regola della mano destra. il modulo di L è dato da:
L = r m v sinθ
Da un punto di vista dimensionale, si ha che:
Figura 1
Nel caso particolare di una particella che si muove di moto circolare uniforme, come quella in Figura1, ricordando che v=ωr, abbiamo che:
Conservazione del momento angolare
Se τ è il momento delle forze agente su un corpo puntiforme rispetto al punto O, si può dimostrare (utilizzando il calcolo infinitesimale) che vale la relazione:
ΔL = τ Δt
dove ΔL è la variazione del momento angolare rispetto al punto O durante l'intervallo di tempo Δt.
La (2) costituisce la legge del moto per le rotazioni. Da essa segue immediatamente che, se il sistema è isolato, o più in generale se il momento τ delle forze esterne è nullo, allora ΔL=0, ovvero L si conserva nel tempo. Possiamo allora enunciare un nuovo principio di conservazione.
Principio di conservazione del momento angolare
Il momento angolare di un sistema rimane costante, in modulo direzione e verso, se è nullo il momento risultante delle forze esterne cui il sistema è sottoposto.
(2)
Una ragazza, seduta su uno sgabello girevole, ruota con una certa velocità angolare reggendo due pesi con le braccia aperte (A). Se stringe le braccia (B), il suo momento angolare si conserva in quanto il momento totale delle forze esterne è nullo (se gli attriti sono trascurabili). Si conserva quindi la quantità rmv e visto che r diminuisce chiudendo le braccia, dovrà aumentare la velocità della ragazza.
Lo stesso principio è utilizzato dalle ballerine quando vogliono aumentare la loro velocità di rotazione durante una piroetta:
Campo di forze centrali
Se teniamo in mano una pallina da tennis e ad un certo istante la lasciamo, ci aspettiamo che essa cada verso il suolo. Questo comportamento non dipende certo da dove siamo: ci aspettiamo che la pallina cada sia che siamo in ufficio oppure in un parco, al mare o sull'Himalaya. Generalizzando potremmo dire che in qualunque punto in prossimità della Terra qualsiasi corpo risente di una forza che lo fa cadere verso la Terra stessa (la forza di gravità ). Il concetto fisico di campo di forze descrive proprio la presenza di una forza in ogni punto dello spazio e viene rappresentato graficamente come un insieme di frecce di diversa lunghezza che indicano il verso e l'intensità della forza stessa. Ad esempio il campo di forze relativo alla forza di gravità terrestre può essere così rappresentato:
Figura 2
Alcune forze presenti in natura, come quella gravitazionale o elettrica, hanno la proprietà di essere centrali, ovvero di essere costantemente dirette verso un punto O, detto centro. Il modulo di tale forza in un punto P dipende dalla distanza tra P e O.
In Figura 3 è rappresentato il campo di forze gravitazionale. Come puoi notare dalla disposizione e dalla lunghezza delle frecce, la forza è diretta verso il centro della Terra e aumenta avvicinandosi al centro. Possiamo dedurre che la forza gravitazionale è una forza centrale.
Il campo di forze associato ad una forza centrale è detto campo di forze centrali.
Esso è particolarmente importante in fisica in quanto presenta delle importanti proprietà di conservazione in particolare:
-
si conserva l'energia meccanica del sistema;
-
si conserva il momento angolare del sistema.
Figura 3
Conservazione del momento angolare in un campo di forze centrali
Abbiamo già specificato che la relazione tra momento angolare e momento delle forze è
ΔL = τ Δt
Supponendo di essere in un campo di forze centrali, prendiamo come punto fisso il centro O del campo e calcoliamo il momento delle forze:
Ï„ = r x F
Il raggio r congiunge il punto P con il centro O ed è quindi parallelo alla forza F agente in P. Quindi il loro prodotto vettoriale risulta nullo: τ=0.
Segue che ΔL=0, ovvero L rimane costante nel tempo. Abbiamo quindi dimostrato la conservazione del momento angolare.