LA LUNA: TRA FISICA E MITO
Legge di gravitazione universale
Video introduttivo su Newton e la gravitÃ
Come abbiamo anticipato nell'introduzione, Newton era alla ricerca di una forza che poteva collegare e spiegare diversi fenomeni, tra cui la caduta dei gravi, il moto della Luna attorno alla Terra, il moto dei pianeti attorno al Sole.
Per definire tale forza Newton si basò su risultati recenti per la sua epoca:
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le leggi di Keplero
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lo studio della caduta dei gravi di Galileo
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le leggi per il moto circolare uniforme di Huygens
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la seconda e terza legge da lui stesso formulate.
Ripercorriamo passo a passo il suo ragionamento.
Passo 1: leggi di Keplero
La prima legge di Keplero sostiene che i pianeti percorrono orbite ellittiche di cui il Sole occupa uno dei fuochi. Dato che l'eccentricità di tali orbite è piccola, Newton le approssimò a orbite circolari di raggio costante r, riservandosi di verificare a posteriori che il risultato fosse in accordo anche con le orbite ellittiche.
Nel caso semplificato delle orbite circolari, le leggi di Keplero si enunciano nel seguente modo:
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i pianeti descrivono intorno al Sole orbite circolari aventi tutte al centro il Sole;
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il moto dei pianeti è uniforme;
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i quadrati dei periodi di rivoluzione dei pianeti sono proporzionali ai cubi dei raggi delle loro orbite.
La terza legge in particolare afferma che il rapporto tra il cubo del raggio e il quadrato del periodo è una costante uguale per tutti i pianeti; la costante potrà quindi dipendere solo dalle proprietà del Sole che li attrae
Passo 2: moto circolare uniforme
Per il moto circolare uniforme, l'accelerazione centripeta vale in generale:
dove nell'ultimo passaggio abbiamo usato la terza legge di Keplero, dato che stiamo esaminando il caso dei pianeti.
Passo 3: seconda legge di Newton
Utilizzando il secondo principio della dinamica F=ma, possiamo calcolare la forza esercitata dal Sole su un pianeta di massa m conoscendo l'accelerazione centripeta che genera:
dove r è la distanza tra Sole e pianeta. Il vettore r è diretto dal Sole verso il pianeta, quindi la forza (che è in direzione -r) sarà diretta dal pianeta verso il Sole.
Cs è una costante che dipende dal Sole, ma Newton era alla ricerca di una legge generale che esprimesse l'interazione tra due corpi dotati di massa.
Per ottenere una relazione più generale si utilizza il principio di azione-reazione.
Passo 4: principio di azione-reazione
Per una questione di simmetria, se il Sole attrae il pianeta di massa mp con una forza pari a
allora il pianeta attirerà il Sole di massa ms con una forza pari a
In virtù del principio di azione e reazione, dovendo essere FSP=FPS, ricaviamo che
Notiamo però che il termine a sinistra dell'uguale dipende solo dalle proprietà del Sole, mentre quello a destra solo da quelle del pianeta indipendentemente da quale pianeta. Tale rapporto è quindi costante e lo chiamiamo G.
Passo 5: sintesi
La forza di attrazione reciproca tra Sole e pianeti assume la forma
La formula trovata non vale solo per i corpi celesti, ma in generale per tutti i corpi dotati di massa. Essa è in accordo anche con la caduta dei gravi, che può essere vista come interazione tra la Terra e un qualsiasi corpo dotato di massa.
Possiamo quindi enunciare in generale la legge di gravitazione universale:
Due punti materiali di massa rispettivamente m1 e m2 si attraggono con una forza agente lungo la retta congiunggente le due masse, direttamente proporzionale al prodotto delle masse e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza.
G è detta costante di gravitazione universale.
Non si conoscono eccezioni alla validità della legge di gravitazione universale. Essa è valida per tutti i corpi dotati di massa: pianeti, stelle, oggetti comuni, molecole, atomi,...
Inoltre lo stesso Newton dimostrò che tale legge sussite non solo per masse puntiformi, ma anche per corpi estesi di forma sferica. In particolare un corpo sferico di massa M e raggio R attrae una particella posta al suo esterno a una qualsiasi distanza r dal suo centro (con r>R) come se tutta la massa M fosse concentrata nel centro della sfera.
La Terra può essere approssimata ad una sfera, quindi attrae ogni corpo in prossimità della superficie terrestre come se fosse una massa puntiforme posta nel suo centro. Tale forza di attrazione esprime proprio la forza peso degli oggetti.
Link interessante: Cavendish pesa la Terra
Campo di gravitazione
Come accennato nel paragrafo sui campi di forze, qualora vi sia una forza agente in ogni punto dello spazio risulta utile introdurre il concetto di campo. Nel caso della forza gravitazionale generata da un punto materiale di massa m (detto sorgente di campo), il campo di forza ad esso associato sarà diretto verso la posizione di tale punto e la sua intensità dipenderà dalla distanza tra una generica massa "di prova" e la sorgente di campo. Possiamo quindi dedurre che il campo di forze sia centrale.
Il campo gravitazionale è quindi un campo di forze centrali. In esso valgono quindi le leggi di conservazione dell'energia meccanica e del momento angolare.
In che modo possiamo descrivere quantitativamente il concetto di campo gravitazionale?
Possiamo intuire l'effetto di un campo gravitazionale per il fatto che un'altra massa m, che chiamiamo massa di prova, risente di una forza in qualsiasi punto dello spazio. Questa forza dipende però proprio dalla massa m, mentre vorremmo qualcosa di più universale, che dipenda solo dalla sorgente di campo e dalla posizione nello spazio.
Poichè F è direttamente proporzionale alla massa di prova m, il rapporto F/m è indipendente da m (esercizio ?). Si definisce quindi il campo gravitazionale generato da una massa il vettore
dato dal rapporto fra la forza gravitazionale F, agente sulla massa di prova m posta in quel punto, e la massa m.
Esso ha le dimensioni di un'accelerazione. Da notare che il campo gravitazionale esiste indipendentemente dalla presenza della massa di prova, essa è solo un mezzo per rivelare l'esistenza del campo in un determinato punto dello spazio.
Il campo gravitazionale generato da una qualunque massa puntiforme M a distanza r sarà quindi equivalente a
E la Luna?
Quanto vale il campo gravitazionale lunare? Utilizzando i dati riportati in Tabella, possiamo calcolare l'accelerazione di gravità presente sulla Luna:
La gravità è notevolmente più bassa che sulla Terra! Ciò significa che la forza peso di uno stesso corpo, dipendendo dall'accelerazione di gravità , varia a seconda del pianeta su cui ci troviamo. Nella seguente Applet è possibile visualizzare la propria forza peso su tutti i pianeti del sistema solare e sulla Luna.
Orbite possibili in campo gravitazionale
Ora che sappiamo esprimere la forza gravitazionale tra due corpi, torniamo al sistema solare e utilizziamo l'equazione del moto per derivare le leggi orarie dei pianeti.
Consideriamo il sistema Terra-Sole. Per il momento limitiamoci a considerare il Sole come fermo (nonostante risenta dell'attrazione della Terra). Questa ipotesi è ragionevole, in quanto la massa solare è di gran lunga maggiore di quella terrestre.
L'equazione che regola il moto della Terra è
Ci sono diversi modi per risolvere questo problema, chiamato problema di Keplero, che però tralasciamo. Ci limitiamo ad analizzarne le soluzioni. Muovendoci sul piano di rivoluzione della Terra risulta più semplice considerare come variabili il raggio r, che esprime la distanza tra Sole e Terra e θ l'angolo in figura:
Si può provare che la legge oraria che regola il moto della Terra è
Essa rappresenta le sezioni coniche, che sono quattro: circonferenza, ellissi, parabola o iperbole; esse devono il loro nome al fatto che si possono ottenere come intersezione tra un piano e un cono.
Qualsiasi corpo celeste, quindi, nel campo gravitazionale del Sole può percorrere solo una tra queste quattro orbite. Nel caso dei pianeti, essi percorrono solo traiettorie chiuse, quindi ellissi o circonferenze.
Un corpo celeste percorre una o l'altra orbita a seconda della propria energia meccanica, ma non ci inoltreremo in questo argomento.
Ci basti sapere che i pianeti del sistema solare percorrono ellissi con il Sole in uno dei fuochi, coerentenemente con quanto affermato dalla prima legge di Keplero.
Per quanto riguarda l'orbita della Luna attorno alla Terra, la situazione è più complicata in quanto la massa lunare non è trascurabile. L'argomento necessita quindi di una trattazione a parte (vedi L'orbita della Luna).
Corpi in caduta libera
Consideriamo una navicella spaziale in orbita attorno alla Terra ad un'altezza di 1000 km. A quest'altezza il campo gravitazionale non è certo trascurabile; tuttavia gli astronauti in orbita non percepiscono la gravità . Come si spiega questo fenomeno?
In un sistema di riferimento inerziale solidale con la Terra, la navicella ruota intorno alla Terra per effetto della forza gravitazionale. Se tale forza fosse nulla la navicella non potrebbe essere trattenuta sulla propria orbita, dalla quale sfuggirebbe, obbedendo al principio di inerzia.
Ben diversa è la situazione in un sistema di riferimento non inerziale solidale alla navicella. In questo sistema la navicella è soggetta alla forza di gravità e alla forza centrifuga dovuta all'accelerazione del sistema, sotto l'azione delle quali è in equilibrio.
La situazione dell'astronauta all'interno della capsula spaziale è identica a quella di un osservatore che si trova all'interno di un ascensore in caduta libera. Entrambi, relativamente ai rispettivi sistemi di riferimento, sono in equilibrio sotto l'azione della forza di gravità e della forza apparente.
Dato che il peso di un corpo è la risultante dell'attrazione gravitazionale e della forza apparente, possiamo concludere che rispetto alla navicella spaziale gli astronauti galleggiano in quanto sono privi di peso.
