LA LUNA: TRA FISICA E MITO
Le tre leggi di Keplero
L'astronomo tedesco Keplero (1571-1630), basandosi sulle idee eliocentriche di Copernico e sui dati numerosi e precisi raccolti dal maestro Tycho Brahe, formulò tre leggi che descrivono matematicamente il moto dei pianeti intorno al Sole. Il suo studio, prettamente cinematico, non si sofferma sulle cause di tale moto, ma si limita a descriverne le proprietà .
Le tre leggi sono un pilastro della meccanica celeste e furono alla base dei successivi studi di Newton sulla gravitazione. Nonostante siano state formulate per il sistema solare, esse valgono in generale per qualunque corpo celeste in orbita attorno a un secondo a patto che la massa del corpo orbitante sia trascurabile rispetto alla massa del secondo.
Nel caso della Luna esse non sono propriamente esatte, in quanto il rapporto tra massa lunare/terrestre è di 1/81 (non trascurabile). Vedremo che in questo caso è più corretto dire che Luna e Terra orbitano attorno ad un punto (il loro centro di massa) che si trova all'interno della Terra stessa.
Prima legge di Keplero
I pianeti descrivono intorno al Sole orbite ellittiche di cui il Sole occupa uno dei fuochi.
Nell'orbita di un pianeta, il punto più lontano dal Sole è detto perielio, mentre quello più vicino è l'afelio. Le orbite dei pianeti del sistema solare sono ellissi di bassa eccentricità , perciò in problemi che non richiedono un'alta precisione possono essere approssimate ad orbite circolari.
Seconda legge di Keplero
Il raggio vettore (cioè il vettore che ha per estremi il Sole e il pianeta) spazza aree uguali in intervalli di tempo uguali.
In figura sono rappresentate le aree descritte dal raggio vettore in un fissato intervallo di tempo quando il pianeta si muove nei pressi dell'afelio e del perielio. Poichè per la seconda legge di Keplero le due aree devono essere uguali, il pianeta deve percorrere nello stesso intervallo di tempo un cammino più breve in prossimità dell'afelio e un cammino più lungo in prossimità del perielio. Da ciò segue che la velocità lineare con cui il pianeta percorre l'orbita ellittica non è costante, in particolare è minima nell'afelio e massima nel perielio.
Questa legge, chiamata anche legge delle aree, può essere riformulata dicendo che l'area descritta dal raggio vettore di ogni pianeta nell'unità di tempo, detta anche velocità areolare, è costante durante il moto del pianeta sull'orbita. Formalmente, chiamata ΔA l'area spazzata in un intervallo di tempo Δt, la velocità areale ΔA/ Δt è costante.
Dimostrazione della seconda legge
La legge delle aree è semplicemente dimostrabile utilizzando la conservazione del momento angolare, se approssimiamo l'orbita descritta da un pianeta con una circolare con il Sole al centro. La dimostrazione per il caso ellittico è possibile ma non così immediata.
Se ω è la velocità angolare del pianeta ed r il raggio dell'orbita, l'area ΔA descritta dal raggio vettore nell'intervallo di tempo Δt è quella del settore circolare di ampiezza ωΔt e raggio r. Si ha perciò:
Si può quindi ricavare la velocità areolare del pianeta:
Il momento angolare di un pianeta di massa m rispetto al sole vale in modulo
Se il momento angolare di un pianeta rispetto al Sole è costante, anche la velocità areolare del pianeta sarà costante, quindi vale la seconda legge di Keplero. Dopo aver affrontato la forza gravitazionale, dimostreremo che il momento angolare dei pianeti si conserva in quanto il campo gravitazionale è un campo di forze centrali.
Terza legge di Keplero
I quadrati dei periodi di rivoluzione dei pianeti sono proporzionali ai cubi dei semiassi maggiori delle loro orbite ellittiche.
In sintesi: dove k è una costante, cioè ha lo stesso valore per tutti i pianeti del sistema solare.
Dalla terza legge di Keplero segue, in particolare, che il periodo di rivoluzione aumenta con la distanza dei pianeti dal Sole, come può essere facilmente riscontrato osservando la seguente tabella:
